共形 QED$_d$、$F$-定理与 $\epsilon$ 展开

我们计算了半径为 $R$ 的 $d$ 维球面上 $U(1)$ 规范理论的自由能 $F$。对于具有自由Maxwell作用量的理论，我们求得了作为 $d$ 的函数的精确结果；它包含 $\frac{d-4}{2} \log R$ 项，这与在4以外的维度中缺乏共形不变性相一致。当 $U(1)$ 规范理论与足够数量 $N_f$ 的无质量4分量费米子耦合时，它获得了一个相互作用的共形相，在 $d<4$ 时该相描述了模型的长程行为。可以使用大 $N_f$ 方法研究该共形相。推广arXiv:1112.5342中 $d=3$ 的计算，我们计算了其作为 $d$ 的函数的球面自由能，忽略了 $1/N_f$ 及更高阶的项。对于有限的 $N_f$，遵循arXiv:1409.1937和arXiv:1507.01960，我们发展了共形QED$_d$ 球面自由能的 $4-\epsilon$ 展开。其向 $d=3$ 的外推表明，对于 $N_f>3$，其与大 $N_f$ 近似非常吻合。对于处于或低于某个临界值 $N_{\rm crit}$ 的 $N_f$，QED$_3$ 的 $SU(2N_f)$ 对称共形相预计将消失或变得不稳定。通过使用 $F$-定理并比较共形相与对称性破缺相的球面自由能，我们证明了 $N_{\rm crit}\leq 4$。作为我们结果的另一项应用，我们计算了共形QED$_6$ 的单圈 beta 函数，其中规范场具有4阶导数动能项。我们证明了该理论与 $N_f$ 个无质量费米子耦合时是渐近自由的。