Drinfel'd--Sokolov 族的可积半离散化

我们从直接线性化框架出发，提出了一种具有两个离散和一个连续自变量的新型半离散 Kadomtsev--Petviashvili 方程，该方程在拥有标准及伴随 Lax 对的意义下是可积的。通过对半离散 Kadomtsev--Petviashvili 方程进行约化，成功构造了与 Kac--Moody Lie 代数 $A_r^{(1)}$、$A_{2r}^{(2)}$、$C_r^{(1)}$ 和 $D_{r+1}^{(2)}$ 相关联的 Drinfel'd--Sokolov 族的新半离散版本。对于每一个半离散 Drinfel'd--Sokolov 方程，还找到了涉及 $\mathbb{Z}_\mathcal{N}$ 分次矩阵之商的 Lax 对。此外，直接线性化构造保证了本文所讨论的所有半离散方程精确解的存在性，除 Lax 对分析外，提供了其可积性的另一重洞见。