通过等变拓扑内接立方体与菱形十二面体覆盖
度量几何
2007-05-23 v2 几何拓扑
摘要
首先，我们证明 Knaster 问题的一个特例，即蕴含 R^3 中每个对称凸体都容许一个内接立方体。我们由等变拓扑中的一个定理推出它：不存在从 SO(3) 到 S^2 的 S_4-等变映射，其中 S_4 在 SO(3) 上作为立方体的旋转群作用，在 S^2 上作为正四面体的对称群作用。我们也给出若干推广。其次，我们说明上述不存在定理如何导出 Makeev 在 R^3 中的猜想：R^3 中每个直径为 1 的集合可被一个相对面距离为 1 的菱形十二面体覆盖。这揭示了将立方体内接于对称体与用菱形十二面体覆盖集合之间的意外联系。最后，我们指出我们第二个定理对 R^3 中 Borsuk 问题的一个可能的应用。（类似结果最近由 V.V. Makeev 所得，且 G. Kuperberg 独立得到（见 math.MG/9809165）。）
引用
@article{arxiv.math/9906066,
title = {Inscribing cubes and covering by rhombic dodecahedra via equivariant topology},
author = {Tamas Hausel and Endre Makai and Andras Szucs},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/9906066},
year = {2007}
}
备注
a new section added with the proof of a new theorem; 31 pages; to appear in Mathematika