无穷轨道深度与Melnikov函数长度

本文研究平面中的多项式哈密顿系统 $dF=0$ 及其小扰动：$dF+\epsilon\omega=0$。沿 $dF=0$ 的闭曲线 $\gamma$ 的庞加莱映射的第一个非零Melnikov函数 $M_{\mu}=M_{\mu}(F,\gamma,\omega)$ 由迭代积分给出。在先前的工作(见arXiv 1703.03837)中，我们将迭代积分 $M_\mu$ 的长度限制在一个几何数 $k=k(F,\gamma)$ 内，我们称之为轨道深度。我们猜想该界是最优的。此处，我们给出一个哈密顿系统 $F$ 及其轨道 $\gamma$ 具有无穷轨道深度的简单例子。若我们的猜想为真，对该例子应存在形变 $dF+\epsilon\omega$，其沿 $\gamma$ 的第一个非零Melnikov函数 $M_\mu$ 具有任意高的长度。我们构造了形变 $dF+\epsilon\omega=0$，其第一个非零Melnikov函数 $M_\mu$ 长度为三，并解释了构造具有高通量第一个非零Melnikov函数 $M_\mu$ 的形变所面临的困难。