Melnikov 函数的 Noetherianity 与轨道长度

我们研究形式为 $dH+\epsilon \eta=0$ 的 $\mathbb{C}^2$ 中的叶簇，其中 $\gamma(t)\subset H^{-1}(t)$ 为循环族。第一返回映射的形式为 $P(t)=t+\sum_j \epsilon^j M_j^\gamma(t)$。函数 $M_j^\gamma$ 称为 Melnikov 函数，由轨道长度为 $j$ 的迭代积分给出。我们证明，对每个 $k\in\mathbb{N}$，存在一个独立于变形 $\eta$ 的普适 Noetherianity 指数 $n_{\scriptscriptstyle H,\gamma}(k)$，使得若 $M_j^\gamma\equiv0$（$j=1,\ldots,n_{ H,\gamma}(k)$），则 $M_j^\gamma$ 的轨道长度为 $j-k$。我们将最小指数称为 Noetherianity 指数 $\nu_{\scriptscriptstyle H,\gamma}(k)$。为证明此定理，我们发展了 Melnikov 函数的结构定理，并使用 Ritt-Raudenbush 微分代数定理。在各种非平凡例子中计算了普适 Noetherianity 指数 $n_{H,\gamma}(k)$。