无限维 Fisher 市场与可处理的公平分配

线性 Fisher 市场是一种基本的经济模型，在公平分配以及大规模互联网市场中均有应用。在 $n$ 个买家和 $m$ 个物品的有限维情形下，可以使用 Eisenberg-Gale 凸规划计算市场均衡。受大规模互联网广告和公平分配应用的推动，本文考虑了一种线性 Fisher 市场的推广，其中买家集合有限而物品为连续统。我们将该情形下的 Eisenberg-Gale 凸规划及其对偶推广到这一无限维设定，从而引出 Banach 空间优化问题。我们建立了最优解的存在性、强对偶性，以及 KKT 型条件的必要与充分性。这些性质均通过非标准论证建立，规避了无限维 Banach 空间优化中对偶理论的局限。此外，我们证明存在纯均衡分配，即物品空间的一种划分。当物品空间为闭区间且买家具有分段线性估值时，我们证明基于无限维分配的 Eisenberg-Gale 型凸规划可重新表述为有限维凸锥规划，可使用基于原始-对偶内点法的现成优化软件高效求解。基于我们的凸锥重构，我们开发了首个实现帕累托最优、无嫉妒和比例性的多项式时间切蛋糕算法。对于一般的买家估值或极大量买家，我们提出使用随机对偶平均计算市场均衡，以高概率找到近似均衡价格。最后，我们讨论了上述结果如何轻易推广到拟线性效用情形。