凸规划对偶、Fisher 市场与 Nash 社会福利

我们研究 Fisher 市场和最大化 Nash 社会福利（NSW）的问题，并展示了几个密切相关的新结果。具体而言，我们得到：—— 一个用于 NSW 最大化问题的新整数规划，其分数松弛具有有界的整数间隙。相比之下，自然的整数规划具有无界的整数间隙。—— 对文献[7]中算法的改进且紧致的因子 2 分析；这进而表明上述松弛的整数间隙至多为 2。文献[7]中证明的近似因子为 $2e^{1/e} \approx 2.89$。—— 该松弛整数间隙的一个 $e^{1/e}\approx 1.44$ 的下界。—— 线性 Fisher 市场自然推广的新凸规划，以及这些市场存在有理均衡的证明。这些结果是通过建立先前已知的截然不同的结果之间的联系而获得的，它们有助于揭示其数学基础。我们展示了 Eisenberg 和 Gale 的凸规划与 Shmyrev 的凸规划之间的形式联系，即它们的对偶在变量替换下是等价的。这两个规划都刻画了线性 Fisher 市场的均衡。通过向 Shmyrev 的规划添加合适的约束，我们得到了一个凸规划，它刻画了文献[7]在 NSW 最大化问题背景下定义的支出受限市场模型的均衡。此外，向该规划添加某些整数约束，我们得到了上述 NSW 的整数规划。我们使用的基本工具是凸规划对偶。在具有线性约束（但目标函数为凸）的凸规划的特殊情况下，我们展示了一种特别简单的获得对偶规划的方法，使其几乎与线性规划对偶处于同等地位。这种寻找对偶的简单方法随后已被用于许多其他应用。