Sierpinski图上简单随机游走的诱导测度

在\cite{[K]}中，Kaimanovich定义了与Sierpinski垫片$K$对应的增广有根树$(X, E)$，并证明了其上简单随机游走$\{Z_n\}$的Martin边界与$K$同胚。确定在$K$上诱导的击中分布$v_{{\bf x}}(\cdot) = {\mathbb{P}}_{{\bf x}}\{\lim_{n \rightarrow \infty} Z_n \in \cdot\}$具有重要意义。利用基于$K$对称性的反射原理，我们证明若游走从$(X, E)$的根出发，则击中分布恰好是$K$上的归一化Hausdorff测度$\mu$。特别地，每个$v_{{\bf x}}$（${\bf x} \in X$）关于$\mu$绝对连续。这回答了Kaimanovich的一个问题[K, Problem 4.14]。该论证可推广到其他对称自相似集。