随机漫步到达时间的均值：联系、计算与优化

对于图 $\mathcal{G}$ 中的随机漫步，其从均匀分布选择的顶点到达顶点 $j$ 的平均到达时间 $H_j$ 测量了顶点 $j$ 的重要性，而 Kemeny 常数 $\mathcal{K}$ 是从一个随机选择的顶点到达另一个随机选择的顶点的平均到达时间。在本文中，我们首先建立了这两种量之间的联系，表征 $\mathcal{K}$ 以 $H_j$ 为 $j$ 的所有顶点。随后，我们开发了一个高效算法，用于估计所有顶点的 $H_j$ 以及 $\mathcal{K}$，并在 $m$ 的近似线性时间内完成。此外，我们将单个顶点的中心性 $H_j$ 扩展到顶点集合 $S$ 的 $H(S)$，并在 $H(S)$ 与其他量之间建立了联系。我们进一步研究了选择 $k \ll n$ 个顶点组成的集合 $S$ 以最小化 $H(S)$ 的 NP-hard 问题，其目标函数是单调的和次可约的。最后，我们提出了两个贪心算法Approximately求解该问题。前者具有 $(1-\frac{k}{k-1}\frac{1}{e})$ 的近似比率和 $O(kn^3)$ 的运行时间，而后者在 $m$ 的近似线性时间内返回 $(1-\frac{k}{k-1}\frac{1}{e}-\epsilon)$-近似解，其中 $0<\epsilon <1$。大量实验结果验证了我们算法的性能。