齐型紧空间上的随机游动与诱导 Dirichlet 型

我们将对自相似集上随机游动与诱导 Dirichlet 型的研究 [arXiv:1604.05440, 1612.01708] 推广到齐型紧空间 $(K, \rho ,\mu)$。对 $K$ 的逐次剖分带来一个自然的增广树结构 $(X, E)$，该结构是 Gromov 双曲的，且其双曲边界与 $K$ 为 Hölder 等价。随后我们在 $(X, E)$ 上引入一类具有返回比 $\lambda$ 的暂态可逆随机游动。利用 Silverstein 的马尔可夫链理论，我们证明该随机游动在 $K$ 上诱导出一个能量型 $${\mathcal E}_K [u] \asymp \iint_{K\times K \setminus \Delta} \frac{|u(\xi) - u(\eta)|^2}{V(\xi, \eta)\rho (\xi, \eta)^\beta} d\mu(\xi) d\mu(\eta),$$ 其中 $V(\xi, \eta)$ 是以 $\xi$ 为中心、半径为 $\rho (\xi, \eta)$ 的球的 $\mu$-体积，$\Delta$ 为对角线，$\beta$ 依赖于 $\lambda$。特别地，对于 ${\mathbb R}^d$ 中的 $\alpha$-集，该能量型的核的阶为 $\frac{1}{|\xi-\eta|^{\alpha +\beta}}$。我们还讨论了该能量型成为非局部正则 Dirichlet 型的条件。