平均场 Langevin 方程长时间模拟的改进弱收敛

我们研究了 Leimkuhler--Matthews 方法的弱收敛行为，这是一种与 Euler 格式计算成本相同的非 Markov Euler 型格式，用于逼近一维 McKean--Vlasov 随机微分方程 (MV-SDE) 的平稳分布。所研究的特定类别被称为平均场（过阻尼）Langevin 方程 (MFL)。我们给出了该格式在有限时间和无限时间下的弱误差和强误差结果。我们在强凸性假设下进行工作。基于对与 MV-SDE 相关的粒子系统的变分过程和 Kolmogorov 后退方程的仔细分析，我们证明该方法在长时间极限下获得了比标准 Euler 方法（弱阶为 $1$）更高的逼近精度（弱收敛阶为 $3/2$）。虽然我们使用相互作用粒子系统 (IPS) 来逼近 MV-SDE，但我们证明了收敛速率与 IPS 的维数无关，这包括建立 IPS 矩、Kolmogorov 后退方程及其导数的一致时间衰减估计。数值实验验证了理论发现。