针对具有粗糙初值的半线性随机热方程的改进指数欧拉方法的误差估计改进

引入一类随机 Besov 空间 $B^p L^2(\Omega;\dot H^\alpha(\mathcal{O}))$, $1\le p\le\infty$ 且 $\alpha\in[-2,2]$,用以刻画半线性随机热方程 \begin{equation*} {\rm d} u -\Delta u {\rm d} t =f(u) {\rm d} t + {\rm d} W(t) , \end{equation*} 中噪声的正则性,在如下条件对某个 $\alpha\in(0,1]$ 成立时: $$\Big\| \int_0^te^{-(t-s)A}{\rm d} W(s) \Big\|_{L^2(\Omega;L^2(\mathcal{O}))} \le C t^{\frac{\alpha}{2}} \quad\mbox{且}\quad \Big\| \int_0^te^{-(t-s)A}{\rm d} W(s) \Big\|_{B^\infty L^2(\Omega;\dot H^\alpha(\mathcal{O}))}\le C.$$ 上述条件被证明对迹类噪声($\alpha=1$)和一维时空白噪声($\alpha=\frac12$)均满足。若将随机 Besov 范数 $\|\cdot\|_{B^\infty L^2(\Omega;\dot H^\alpha(\mathcal{O}))}$ 替换为经典的 Sobolev 范数 $\|\cdot\|_{L^2(\Omega;\dot H^\alpha(\mathcal{O}))}$,后者将无法满足 $\alpha=\frac12$ 时的条件,而这常常导致半线性随机热方程数值分析收敛阶的降低。本文证明了一类改进指数欧拉方法(空间离散采用谱方法)的收敛性:对 $L^4(\Omega;\dot{H}^{\beta}(\mathcal{O}))$ 中 $\beta>-1$ 的可能非光滑初值,利用随机 Besov 空间的实插值性质以及一类局部加密步长以消解解在 $t=0$ 处的奇性,可在时间与空间上均达到 $\alpha$ 阶收敛。