素数算术级数中 $d_3(n)$ 的改进平均分布

如果对于每个 $\varepsilon>0$，期望的渐近性对所有模数 $q \le x^{\theta-\varepsilon}$ 一致成立，则称 $d_3(n)$ 具有分布指数 $\theta$。Nguyen 在 Banks、Heath-Brown 和 Shparlinski 先前工作的基础上证明，在对模 $q$ 的既约剩余类 $a \bmod q$ 进行平均后，函数 $d_3(n)$ 的分布指数为 $2/3$。利用 Petrow--Young 关于 Dirichlet $L$ 函数的次凸性界，当对模素数 $q$ 的剩余类进行平均时，我们将此改进为 $8/11$。