圆到曲面的浸入

我们根据基本不变量对 $2$-流形 $M$ 中 $S^1$ 的浸入 $f$ 进行分类：即 $f$ 的自横截 $C^1$-逼近的双点数的奇偶性 $S(f)$，以及浸入 $e\bar f:S^1\to M_f\subset\Bbb R^2$ 的转角数 $T(e\bar f)$，其中 $\bar f$ 是 $f$ 到 $M$ 的覆盖 $M_f$ 的提升，对应于子群 $\left<[f]\right>\subset\pi_1(M)$。具体而言，浸入 $f,g:S^1\to M$ 正则同伦当且仅当它们同伦，且若 $M=S^2$ 或 $\Bbb R P^2$ 或法丛 $\nu(f)$ 不可定向，则 $S(f)=S(g)$；而如果 $M\not= S^2,\Bbb R P^2$ 且 $\nu(f)$、$\nu(g)$ 具有相对于同伦相容的定向 $o$、$o'$，则 $T(e_o\bar f)=T(e_{o'}\bar g)$，其中 $e_o$ 是有向曲面 $M_f$（平环或平面）在 $\Bbb R^2$ 中的标准嵌入。事实上，对于同伦浸入 $f$、$g$，$S(f)-S(g)$ 与 $T(e_o\bar f)-T(e_{o'}\bar g)$ 都归结为到 $M$ 的万有覆盖的零同伦浸入 $f\# g^*$ 的提升的转角数。此处“$S^1\to M$ 的浸入”或为光滑或为拓扑；我们包含一个光滑化定理，表明无差异。我们还根据浸入 $S^1$ 的不变量 $S(f)$ 和 $T(e_o\bar f)$ 对 $M$ 中图的浸入直至正则同伦进行分类。证明基于 h-原理。这篇浅显注记的要点是简化 [10] 和 [11]，其中对 $M\ne\Bbb R P^2$ 在 $M$ 上给定带零点的向量场下，根据一对同伦浸入 $S^1\to M$（而非单个浸入）相当繁琐定义的“卷绕数”，获得了图中浸入的分类。