Euler 方程在 $B^s_{p,\infty}$ 中的不适定性：非连续依赖

在本文中，我们解决了专著 \cite[Bahouri-Chemin-Danchin, (2011)]{BCD} 中遗留的一个开放问题。确切地说，\cite[第 293 页定理 7.1, (2011)]{BCD} 得到了 Euler 方程 $B^s_{p,\infty}$ 解的存在性与唯一性。我们进一步证明了，对于 $s>1+d/p$ 且 $1\leq p\leq \infty$，Euler 方程的解映射在从 $B^s_{p,\infty}$ 到 $L_T^\infty B^s_{p,\infty}$ 的 Besov 空间中是不连续的；对于 $k\in \mathbb{N}^+$ 且 $\alpha\in(0,1)$，在从 $C^{k,\alpha}$ 到 $L_T^\infty C^{k,\alpha}$ 的 Hölder 空间中也是不连续的，这特别涵盖了 \cite[Trans. Amer. Math. Soc., (2018)]{MYtams} 中 $C^{1,\alpha}$ 解的不适定性。除了关于初始数据选择的纯技术层面外，该证明的一个显著新颖之处是构造了 Burgers 方程的近似解。