自由群中元素的方程理想与 Stallings 折叠

设 $F$ 为有限生成自由群，$H\le F$ 为有限生成子群。给定元素 $g\in F$，我们研究 $g$ 的带 $H$ 中系数的方程理想 $\mathfrak{I}_g$，即满足在 $F$ 中 $w(g)=1$ 的元素 $w(x)\in H*\langle x\rangle$。理想 $\mathfrak{I}_g$ 是 $H*\langle x\rangle$ 的正规子群，我们基于 Stallings folding（Stallings 折叠）操作给出了一种算法，可计算 $\mathfrak{I}_g$ 作为正规子群的有限生成集。我们给出了一种算法以找到 $\mathfrak{I}_g$ 中次数最小的的方程，即方程 $w(x)$ 使其循环约化含有最少可能的 $x$ 与 $x^{-1}$ 出现次数；这回答了 A. Rosenmann 和 E. Ventura 的一个问题。更一般地，我们给出了一种算法，给定 $d\in\mathbb{N}$，判定 $\mathfrak{I}_g$ 是否含次数 $d$ 的方程，并刻画了该特定次数下所有方程的集合。我们定义整数集 $D_g$ 为所有使 $\mathfrak{I}_g$ 含次数 $d$ 方程的 $d$ 的集合；我们证明 $D_g$ 除去有限集外，要么与非负偶数集重合，要么与自然数集重合。最后，我们给出例子以说明本文引入的技术。我们讨论 $\text{rank}(H)=1$ 的情形。我们证明两类 $D_g$ 集合实际上都可能出现。例子还表明次数最小可能的方程一般不足以作为正规子群生成整个理想 $\mathfrak{I}_g$。