按秩、次数与生成元个数参数化的单变量理想成员问题

设 $\mathbb{F}[X]$ 为变量 $X=\{x_1,x_2, \ldots, x_n\}$ 上的多项式环。由单变量多项式 $\{p_i(x_i)\}_{i=1}^n$ 生成的理想 $I=\langle p_1(x_1), \ldots, p_n(x_n)\rangle$ 称为\emph{单变量理想}。我们研究单变量理想的理想成员问题，并给出如下结果。\item 设 $f(X)\in\mathbb{F}[\ell_1, \ldots, \ell_r]$ 是由算术电路给出的（低秩）多项式，其中 $\ell_i : 1\leq i\leq r$ 为线性形式，$I=\langle p_1(x_1), \ldots, p_n(x_n)\rangle$ 为单变量理想。给定 $\vec{\alpha}\in {\mathbb{F}}^n$，（唯一的）余式 $f(X) \pmod I$ 可在确定性时间 $d^{O(r)}\cdot poly(n)$ 内在 $\vec{\alpha}$ 处求值，其中 $d=\max\{\deg(f),\deg(p_1)\ldots,\deg(p_n)\}$。这给出了秩为 $r$ 的邻接矩阵图的最小顶点覆盖的 $n^{O(r)}$ 算法，也给出了任意域 $\mathbb{F}$ 上秩 $r$ 的 $n\times n$ 矩阵永久元的 $n^{O(r)}$ 算法。在 $\mathbb{Q}$ 上，Barvinok[Bar96] 通过不同技术给出了类似运行时间的低秩永久元算法。\item 设 $f(X)\in\mathbb{F}[X]$ 由次数 $k$（$k$ 视为固定参数）的算术电路给出，$I=\langle p_1(x_1), \ldots, p_n(x_n)\rangle$。我们表明，在 $I=\langle x_1^{e_1}, \ldots, x_n^{e_n}\rangle$ 的特殊情况下，得到一个使用 $poly(n,k)$ 空间、随机化的 $O^*(4.08^k)$ 算法。\item 给定由算术电路给出的 $f(X)\in\mathbb{F}[X]$ 和 $I=\langle p_1(x_1), \ldots, p_k(x_k) \rangle$，成员测试关于参数 $k$ 是 $W[1]$-困难的。在 $I=\langle x_1^{e_1}, \ldots, x_k^{e_k}\rangle$ 的特殊情况下，该问题是 $MINI[1]$-困难的。