理想成员资格的简短证明

理想元素的余因子表示，即用生成元表示的形式，可以被视为理想成员资格的证书。这种表示通常不是唯一的，并且某些表示可能比其他表示复杂得多。在这项工作中，我们考虑计算给定多项式理想中元素的最稀疏余因子表示的问题，即具有最少项数的表示。虽然我们侧重于非交换多项式的更一般情况，但所有结果同样适用于交换情形。我们证明计算具有有界项数的余因子表示的问题是可判定的且是 NP 完全的。此外，通过将该问题转化为线性优化问题并利用基于签名的 Gröbner 基算法的性质，我们提供了一种计算稀疏（不一定最优）表示的实用算法。我们证明对于某类特定的理想，用此方法计算的表示实际上是最优的，并且我们展示了实验数据，说明该方法可以得到明显更稀疏的余因子表示。