自由群中元素的方程组理想与上下文无关语言

设 $F$ 为有限生成自由群，并设 $H\le F$ 为有限生成子群。$g\in F$ 的一个以 $H$ 中元素为系数的方程是指一个元素 $w(x)\in H*\langle x \rangle$，使得在 $F$ 中 $w(g)=1$；该方程的次数是指 $w(x)$ 的循环约化中 $x$ 和 $x^{-1}$ 的出现次数。给定元素 $g\in F$，我们考虑 $g$ 的以 $H$ 中元素为系数的方程理想 $\mathfrak{I}_g\subseteq H*\langle x \rangle$；我们使用上下文无关语言研究 $\mathfrak{I}_g$ 的结构。我们描述了一种新算法，用于判定 $\mathfrak{I}_g$ 是否平凡；该算法在多项式时间内运行。我们还描述了一种多项式时间算法，给定 $d\in\mathbb{N}$，判定所有 $d$ 次方程的子集 $\mathfrak{I}_{g,d}\subseteq\mathfrak{I}_g$ 是否为空。我们给出了一种多项式时间算法，用于计算 $\mathfrak{I}_g$ 中非平凡方程的最小次数 $d_{\min}$。我们给出了 $d_{\min}$ 的精确上界。最后，我们研究了 $\mathfrak{I}_g$ 和 $\mathfrak{I}_{g,d}$ 中（循环约化）方程的数量随其长度的增长情况。我们证明该增长要么为多项式要么为指数，并给出了一种多项式时间算法来计算增长类型（若其为多项式则包括增长次数）。