线性规划与自由积中无因子子群的交

我们利用线性规划方法研究群自由积中有限生成无因子子群的交。例如，我们证明如果 $H_1$ 是两个有限群 $G_1$、$G_2$ 的自由积 $G_1 * G_2$ 的有限生成无因子非循环子群，则 $H_1$ 的 WN 系数 $\sigma(H_1)$ 是有理数，且可在 $H_1$ 大小的指数时间内算出。该系数 $\sigma(H_1)$ 是最小正实数，使得对于 $G_1 * G_2$ 的任意有限生成无因子子群 $H_2$，有 $\bar {\rm r} (H_1, H_2) \le \sigma(H_1) \bar {\rm r}(H_1) \bar {\rm r}(H_2)$，其中 $\bar{ {\rm r}} (H) = \max ( {\rm r} (H)-1,0)$ 是 $H$ 的约化秩，${\rm r}(H)$ 是 $H$ 的秩，$\bar {\rm r}(H_1, H_2)$ 是 $H_1$ 与 $H_2$ 广义交的约化秩。对于两个有限群 $G_1$、$G_2$ 的自由积 $G_1 * G_2$，还证明了存在无因子子群 $H_2^* = H_2^*(H_1)$ 使得 $\bar {\rm r}(H_1, H_2^*) = \sigma(H_1) \bar {\rm r}(H_1) \bar {\rm r}(H_2^*)$，$H_2^*$ 在 $H_1$ 大小下至多呈双指数规模，且 $H_2^*$ 可在 $H_1$ 大小的指数时间内构造。