关于自由积中自由子群的交

设 (G_i | i in I) 是一族群，设 F 为自由群，并设 G = F *(*I G_i) 为 F 与所有 G_i 的自由积。令 FF 表示 G 中所有有限生成子群 H 的集合，这些 H 满足性质：对每个 g in G 与每个 i in I，有 H \cap G_i^{g} = {1}。由 Kurosh 子群定理，FF 中每个元素都是自由群。对每个自由群 H，其约化秩定义为 r(H) = max{rank(H) -1, 0} in \naturals \cup {\infty} \subseteq [0,\infty]。为避免空情形，我们额外假设 FF 含有一个非循环群，并定义 sigma := sup{r(H\cap K)/(r(H)r(K)) : H, K in FF and r(H)r(K) \ne 0}，sigma in [1,\infty]。我们关注 sigma 的精确界。在 I 为空的特例中，Hanna Neumann 证明了 sigma in [1,2]，并猜想 sigma = 1；近五十年后，此区间未被缩小。在理解 \infty/(\infty -2) = 1 下，我们定义 theta := max{|L|/(|L|-2) : L is a subgroup of G and |L| > 2}，theta in [1,3]。推广 Hanna Neumann 定理，我们证明 sigma in [theta, 2 theta]，且 moreover，若 G 有 2- torsion 则 sigma = 2 theta。由于 sigma 有限，FF 对有限交封闭。推广 Hanna Neumann 猜想，我们猜想当 G 无 2- torsion 时 sigma = theta。