自由群中子群并交的可实现秩

著名的 Hanna Neumann 猜想（现为 Friedman-Mineyev 定理）给出了非交换自由群中任意子群 $H$ 与 $K$ 之交的秩的上界。关于该上界相对于 $H\vee K$（由 $H$ 和 $K$ 生成的子群）的秩进行“量化”是一个有趣的问题。我们描述了一组任意 $H$、$K$ 的可实现值 $(rk(H\vee K),rk(H\cap K))$，并猜想该轨迹是完备的。我们借助 Dicks 在其 Amalgamated Graph 猜想背景下引入的图，研究 $H$ 与 $K$ 的核图之拓扑推出的组合结构。这使我们能够说明关于 $H\vee K$、$H\cap K$ 秩的某些条件不可实现，从而肯定地解决 Guzman 的“群论猜想”剩余的开放情形 $m=4$。这进而蕴含了关于具有 $6$-自由基本群的双曲 $3$-流形的相应“几何猜想”的有效性。最后，我们证明了描述当 $rk(H)=2$ 时可实现值轨迹的主猜想。