自由积的交替与对称可分性

设 $F \ast G$ 为自由群 $F$ 与LERF群 $G$ 的自由积。在本短文中，我们提供了关于子群 $H$ 为 $\mathcal{A} \cup \mathcal{S}$-可分性的充分条件，即对于任意有限集合 $\{\gamma_1, \ldots, \gamma_n\} \subset (F \ast G) \setminus H$，存在从 $F \ast G$ 到交替群或对称群的满射 $f$，使得 $f(\gamma_i) \notin f(H)$ 对所有 $i$ 均成立。作为推论，任意有限生成的正指数子群在自由群与任意LERF群的自由积中是 $\mathcal{A} \cup \mathcal{S}$-可分的，这概括了Wilton的某些结果。