准弹性、柔度弹性、旋转稳定性及对数应变中的单调性

我们将作用于柔度应力 $\sigma$ 上的目标、旋转 Zaremba-Jaumann 率\n\n$$\frac{{\rm D}^{\rm ZJ}}{{\rm D} t} [\sigma] = \mathbb{H}^{\rm ZJ}(\sigma).D, \qquad D = {\rm sym} {\rm D} v\,$$\n\n其中 $D$ 为鲁莱维茨应变率，$v$ 为流体速度，与 novel 的 "旋转稳定假设"（CSP）\n\n$$\Bigl\langle \frac{{\rm D}^{\rm ZJ}}{{\rm D} t}[\sigma], D \Bigr\rangle > 0 \qquad \forall \, D\in{\rm Sym}(3)\\setminus\{0\}\n$$\n\n共轱作用，用于证明给定的各向同性柔度本构律 $B \mapsto \\sigma(B)$（以左 Cauchy-林当张量 $B = F F^T$ 表示）诱导的四阶切线刚度张量 $\mathbb{H}^{\rm ZJ}(\sigma)$ 当且仅当 $\widehat{\sigma}(\log B):=\sigma(B)$ 满足对数应变中的强单调性条件（TSTS-M^{++}）。因此 (CSP) 等价于 (TSTS-M^{++})，两者均意味着由张量 $\mathbb{H}^{\rm ZJ}(\sigma)$ 表示的柔度材料规律在应力和应变率之间具有可逆性。对于旋转 Green-Naghdi 率和旋转对数率同样如此，使 (CSP) 与对数应变张量中的单调性（TSTS-M^{++}）具备更广泛的适用性。我们推测该 (CSP) 的表征对大类合理的旋转率均成立。对数率的结果基于对各向同性张量函数的旋转导数的 novel 链式法则。