关于理想各向同性 Cauchy 弹性的对数应变常数条件

跟随 Hill 和 Leblond 的思路，我们的工作旨在证明对于各向同性非线性弹性，柔性 Zaremba-Jaumann 目标导数 $\sigma$ 的旋向不变导数 $\frac{{\rm D}^{\rm ZJ}}{{\rm D} t}[\sigma] = \frac{{\rm d}}{{\rm d}{t}}[\sigma] - W \, \sigma + \sigma \, W, \qquad W = {\rm skew}(\dot F \, F^{-1})$ 与涉及对数应变张量的常数要求之间存在关系。给定变形张量 $F ={\rm D} \varphi$，左 Cauchy-Green 张量 $B = F \, F^T$，应变率张量 $D = {\rm sym}(\dot F \, F^{-1})$，我们证明了 \begin{equation} \label{eqCPSdef} \begin{alignedat}{2} \forall \,D\in{\rm Sym}(3) \! \setminus \! \{0\}: ~ \langle{\frac{{\rm D}^{\rm ZJ}}{{\rm D} t}[\sigma]},{D}\rangle > 0 \quad &\iff \quad \log B \longmapsto \widehat\sigma(\log B) \;\textrm{is strongly Hilbert-monotone} &\iff \quad {\rm sym} {\rm D}_{\log B} \widehat \sigma(\log B) \in{\rm Sym}^{++}_4(6) \quad \text{(TSTS-M$^{++}$)}, \end{alignedat} \tag{1} \end{equation} 其中 ${\rm Sym}^{++}_4(6)$ 表示正定的、(次和主)对称四阶张量集合。我们将第一个不等式称为“柔性稳定假设”（CSP），这是一种新概念，它暗示 $\textbf{T}$rue-\textbf{S}$tress \textbf{T}$rue-\textbf{S}$train 严格希尔伯特单调性（TSTS-M$^+$) 对于$B \mapsto \sigma(B) = \widehat \sigma(\log B)$，即 \begin{equation} \langle \widehat\sigma(\log B_1)-\widehat\sigma(\log B_2),{\log B_1-\log B_2} \rangle> 0 \qquad \forall \, B_1\neq B_2\in{\rm Sym}^{++}(3) \, . \end{equation} 在本文中，我们扩展了 Hill 和 Leblond 的思想，将 Leblond 的计算推广到 Cauchy 弹性情形。