如何用 Ramsey 理论求解 Harary 关于 $K_{2,k}$ 的问题

Harary 猜想 $r(C_3,G)\leq 2q+1$ 对每一条带 $q$ 条边且无孤立点的图 G 成立，该猜想已由 Sidorenko 以及 Goddard 和 Klietman 分别独立证明。本文中以 $K_{2,k}$ 替代 $C_3$，并寻求对所有含 $q$ 条边的图 G 的 $r(K_{2,k},G)$ 的紧上界。更具体地，若 $q\geq 2$，我们将证明 $r(C_4,G)\leq kq+1$，且当 $G \cong qK_2$ 或 $K_3$ 时取等号。利用此结论，我们将对 $k>2$ 时的 $r(K_{2,k},G)$ 推广该结果。我们还将证明对每条含 $q \geq 2$ 条边且无孤立顶点的图 G，有 $r(C_4, G) \leq 2p+ q - 2$，其中 $p=|V(G)|$，且当 $G \cong K_3$ 时取等号。