拓扑熵与因子复杂度在幺半群态射与自由群基变换下的行为如何？

对于任意非擦除自由幺半群态射 $\sigma: \cal A^* \to \cal B^*$，以及任意子移位 $X \subset \cal A^\Z$ 与其像子移位 $Y = \sigma(X) \subset \cal B^\Z$，所关联的复杂度函数 $p_X$ 与 $p_Y$ 满足：存在常数 $c, d, C > 0$，使得对所有足够大的整数 $n \in \N$，有 $$c \cdot p_X(d \cdot n) \,\, \leq \,\, p_Y(n) \,\, \leq \,\, C \cdot p_X(n)$$ 成立，前提是 $\sigma$ 在 $X$ 中可识别。若 $\sigma$ 进一步为字母到字母的，则 $p_Y$ 属于 $\Theta(p_X)$（反之亦然）。然而否则，存在例子使得 $p_X$ 不属于 $\cal O(p_Y)$。由此可知，一般而言，将态射 $\sigma$ 作用于 $X$ 时，$X$ 的拓扑熵值 $h_X$ 不被保持，即便 $\sigma$ 在 $X$ 中可识别。作为推论，不存在有意义的方式来定义自由群 $F_N$ 上电流的拓扑熵；仅有对电流 $\mu$ 区分拓扑熵 $h_{\tiny\supp(\mu)} = 0$ 与 $h_{\tiny\supp(\mu)} > 0$ 是良定义的。