等价光滑流的拓扑熵

定义在光滑流形上的两个流如果存在该流形的一个同胚，将一个流的每条轨道映射为另一个流的一条轨道并保持时间定向，则称这两个流是等价的。流的拓扑熵定义为其时间-1 映射的熵。虽然拓扑熵是等价同胚的不变量，但对于流而言，有限非零的拓扑熵不能是不变量，因为其值受时间重新参数化的影响。然而，对于没有不动点的等价流，0 和 $\infty$ 拓扑熵是不变量。在带有不动点的等价流中，Ohno 构造了一个反例，表明 0 和 $\infty$ 拓扑熵均不被等价性保持。Ohno 构造的两个流是传递子移位的扩张，因此是不可微的。注意，紧流形上的可微流不可能具有 $\infty$ 熵。这些事实促使 Ohno 在 1980 年提出如下问题：“0 拓扑熵是否为等价可微流的不变量？”在本文中，我们构造了两个带有一个奇点的等价 $C^\infty$ 光滑流，其中一个具有正拓扑熵，而另一个具有零拓扑熵。这给出了 Ohno 问题在 $C^\infty$ 类中的否定回答。