伸缩曲面的地平鞍连接、拟Hopf曲面与Veech群

伸缩曲面是平移曲面的推广，其几何结构建模于复平面在线性部分为实仿射映射下的商。它们是研究仿射区间交换映射悬垂的几何框架。然而，尽管 $SL(2,\mathbb{R})$ 作用在平移曲面层连通分支中遍历，伸缩曲面分支中可能存在互不相交的 $SL(2,\mathbb{R})$-不变开子集。首要区别在于可三角化与不可三角化伸缩曲面。对于不可三角化曲面，$SL(2,\mathbb{R})$ 的作用颇为平凡，因此研究可集中于可三角化伸缩曲面空间。\newline 本文引入地平鞍连接的概念，以细化可三角化与不可三角化伸缩曲面之间的区分。我们还引入拟Hopf曲面族，其可三角化但表现出与不可三角化曲面相同的平凡行为。我们证明地平鞍连接的存在极大地限制了伸缩曲面可能具有的 Veech 群。