地平鞍点连接与膨胀曲面的Morse-Smale动力学

膨胀曲面是平移曲面的推广，其中图册的转移映射是平移和具有正比率的位似变换。与平移曲面相反，膨胀曲面上的方向流可能包含在极限环上积累的轨迹。这种极限环称为双曲的，因为它诱导了一个非平凡的位似变换。已有猜想认为，没有实际双曲闭测地线的膨胀曲面实际上是平移曲面。假设膨胀曲面包含一个地平鞍点连接，我们证明其双曲闭测地线的方向在$\mathbb{S}^{1}$中稠密。我们还证明，膨胀曲面满足后一性质当且仅当其方向流在$\mathbb{S}^{1}$的一个开稠密子集上是Morse-Smale的。