Artinian 模与 Mini-max 模的同调，II

设$R$为交换环，$L$和$L'$为$R$-模。我们研究了当$L$和$L'$满足这些有限性条件的组合时，模$\mathrm{Ext}^i_R(L,L')$和$\mathrm{Tor}_i^R(L,L')$的有限性条件（例如 Noetherian、Artinian、mini-max、Matlis 自反）。例如，若$R$是 Noetherian 环，给定$R$-模$M$和$M'$，其中$M$是 Matlis 自反的且$M'$是 mini-max 的（例如 Noetherian 或 Artinian），我们证明对于所有$i\geq 0$，$\mathrm{Ext}^i_R(M,M')$、$\mathrm{Ext}^i_R(M',M)$和$\mathrm{Tor}_i^R(M,M')$在$R$上均为 Matlis 自反，并且$\mathrm{Ext}^i_R(M,M')^\vee\cong \mathrm{Tor}_i^R(M,M'^\vee)$以及$\mathrm{Ext}^i_R(M',M)^\vee\cong \mathrm{Tor}_i^R(M',M^\vee)$。