Burch 理想、子模与商模的同调维数

Burch 理想与 Burch 子模的概念分别由 Dao-Kobayashi-Takahashi 于 2020 年及 Dey-Kobayashi 于 2022 年引入（并研究）。本文旨在借助 Burch 理想、Burch 子模或相应商模的同调不变量来刻画各类局部环。我们结果的具体应用包括如下：设 $(R,\mathfrak{m})$ 为交换诺特局部环。令 $M=I$ 为 $R$ 的整闭理想且满足 ${\rm depth}(R/I)=0$，或 $M = \mathfrak{m} N \neq 0$ 为有限生成 $R$-模 $L$ 的某子模 $N$ 且满足 ${\rm depth}(N)\ge 1$ 或 $L$ 自由。有如下结论：（1）$I$ 具有极大投射（相应，内射）复杂性与曲率。（2）$R$ 为 Gorenstein 当且仅当对任意三个连续的 $n \ge \max\{{\rm depth}(R)-1,0\}$ 值有 ${\rm Ext}_R^n(M,R)=0$。（3）$R$ 为 CM（Cohen-Macaulay）当且仅当 CM-$\dim_R(M)$ 有限。