Burch 模块与理想的复杂度与曲率

模块的复杂度与曲率最初由 Avramov 提出，用于区分无限同调维数的模块。后来，Avramov-Buchweitz 将这种概念从单个模块扩展到模块对，这度量了其 Ext 模块最小生成数的多项式增长率。Dao 研究了类似的 Tor 复杂度概念。最近，Dey-Ghosh-Saha 着手研究 Ext 与 Tor 曲率，这度量了相应 Ext 与 Tor 的指数增长率。另一方面，Burch 理想的概念由 Dao-Kobayashi-Takahashi 提出，灵感来自 Burch 的经典工作，随后被 Dey-Kobayashi 扩展到模块中。该类包括若鲁诺局部环 $(R,\mathfrak{m},k)$ 上的多个大型且被广泛研究的模块与理想族，例如作为 $R$-模的剩余域 $k$，以及形如 $\mathfrak{m} M$ 的每个非零模（例如 $\mathfrak{m}^n$ 用于 $n\ge 1$），在温和条件下，每个深度为 $0$ 的可整闭理想 $I$。设 $I$ 和 $J$ 为 Burch 理想且 $I$ 为 $\mathfrak{m}$-原始理想。受 Avramov 结果的启发，Burch 模块显示出极端复杂度与曲率，我们在本文中证明 $\rm{cx}_R(I,J)=\rm{tcx}_R(I,J)=\rm{cx}_R(k)$。此外，我们证明 $R$ 为完备交叉点当且仅当 $\rm{cx}_R(I,J)$ 或 $\rm{tcx}_R(I,J)$ 为有限当且仅当 $\rm{curv}_R(I,J)$ 或 $\mathrm{tcurv}_R(I,J)$ 至多为 $1$。我们从更一般的 Burch 模块结果中推导出这些结果。