具有连续时空尺度族的抛物型方程的齐次化

本文讨论了在无时间或空间上的遍历性与无尺度分离情形下，线性散度型抛物算子的齐次化问题。具体而言，我们考虑 $\Omega \subset \R^n$ 中具有 $L^\infty(\Omega \times (0,T))$ 系数的散度型线性抛物算子。结果表明，该逆算子将 $L^2(\Omega\times (0,T))$ 的单位球映入一个函数空间，这些函数在小（时间与空间）尺度上于 $H^1$ 范数下逼近一个维数为 $n$ 的函数空间。由此可知，一旦至少求解这些方程 $n$ 次，便可在空间与时间上同时将其齐次化，从而减少获取进一步解所需的计算量。实际上，我们证明了在 Cordes 型条件下，这些算子的解关于调和坐标的一阶时间导数与二阶空间导数属于 $L^2$（而使用欧氏坐标时属于 $H^{-1}$）。若介质与时间无关，则只需求解关联的椭圆方程 $n$ 次即可对抛物方程进行齐次化。