线性输运方程的齐次化：一种新方法

本文致力于一种由一致有界向量场序列 $b_\epsilon(x)$ 诱导的线性输运方程齐次化的新方法，其解 $u_\epsilon(t,x)$ 在 $t=0$ 时与某个 $p\in(1,\infty)$ 的有界 $L^p_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ 序列一致。假设序列 $b_\epsilon\cdot\nabla w_\epsilon^1$ 在 $L^q_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ 中紧（$q$ 为 $p$ 的共轭），对某些在 $L^N_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)^N$ 中有界的梯度场 $\nabla w_\epsilon^1$ 成立，且存在一致有界序列 $\sigma_\epsilon>0$ 使得 $\sigma_\epsilon\,b_\epsilon$ 在 $N\!=\!2$ 时散度自由，或在 $N\!\geq\!3$ 时为 $(N\!-\!1)$ 个有界梯度的叉积且在 $L^N_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)^N$ 中，我们证明序列 $\sigma_\epsilon\,u_\epsilon$ 弱收敛于某线性输运方程的解。结果表明，$b_\epsilon\cdot\nabla w_\epsilon^1$ 的紧性是经典二维周期情形遍历性假设的替代，并允许我们处理任意维中的非周期向量场。该齐次化结果由各种一般性例子说明。