多尺度椭圆同质化中的一致 Calderón-Zygmund 估计

本文关注椭圆方程 $-\text{div} (A_\varepsilon \nabla u_\varepsilon) = \text{div} f$ 在有界 $C^1$ 域中的情形，其中 $A_\varepsilon$ 形式为 $A_\varepsilon(x) = A(x/\varepsilon_1, x/\varepsilon_2,\cdots, x/\varepsilon_n)$，且 $A(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ 对每个 $y_i$ 均为 1-周期。我们证明了一致的 Calderón-Zygmund 估计，即线性映射 $f\mapsto \nabla u_\varepsilon$ 在任意 $p\in (1,\infty)$ 上的 $L^p$ 有界性，其常数独立于小参数 $(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots, \varepsilon_n) \in (0,1]^n$。我们的结果包括在准周期椭圆同质化中的一致 Calderón-Zygmund 估计（即使没有 Diophantine 条件），此前尚未知晓。新颖的证明方法结合了数论中的 Dirichlet 同时 Diophantine 逼近定理、重新周期化技术、反复周期同质化以及大尺度实变量论证。借助重新周期化的思想，我们还获得了一些大尺度或中尺度 Lipschitz 估计。