有界域中具有周期系数的稳态麦克斯韦系统的齐次化

在 $C^{1,1}$ 类的有界域 $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^3$ 中，我们考虑具有完美导电边界条件的稳态麦克斯韦系统。假定介电常数和磁导率由 $\eta({\mathbf x}/ \varepsilon )$ 和 $\mu({\mathbf x}/ \varepsilon )$ 给出，其中 $\eta( {\mathbf x})$ 和 $\mu({\mathbf x})$ 是对称 $(3 \times 3)$ 矩阵值函数；它们关于某个格子周期、有界且正定。这里 $\varepsilon >0$ 是小参数。我们对麦克斯韦系统的解使用如下记号：${\mathbf u}_\varepsilon$ 为电场强度，${\mathbf v}_\varepsilon$ 为磁场强度，${\mathbf w}_\varepsilon$ 为电位移矢量，${\mathbf z}_\varepsilon$ 为磁位移矢量。已知当 $\varepsilon \to 0$ 时，${\mathbf u}_\varepsilon$、${\mathbf v}_\varepsilon$、${\mathbf w}_\varepsilon$ 和 ${\mathbf z}_\varepsilon$ 在 $L_2({\mathcal O})$ 中弱收敛到相应的齐次化场 ${\mathbf u}_0$、${\mathbf v}_0$、${\mathbf w}_0$ 和 ${\mathbf z}_0$（具有有效系数的齐次化麦克斯韦系统的解）。我们改进了经典结果，并找到了 ${\mathbf u}_\varepsilon$、${\mathbf v}_\varepsilon$、${\mathbf w}_\varepsilon$ 和 ${\mathbf z}_\varepsilon$ 在 $L_2({\mathcal O})$ 范数下的逼近。误差项不超过 $C \sqrt{\varepsilon} (\| {\mathbf q}\|_{L_2}+\|{\mathbf r}\|_{L_2})$，其中无散度向量值函数 ${\mathbf q}$ 和 ${\mathbf r}$ 是麦克斯韦方程的右端项。