迭代奇异积分的同质化及其在随机拟共形映射中的应用

我们研究迭代随机奇异积分的同质化，以及具有随机 Beltrami 系数的 Beltrami 微分方程同胚解。更确切地说，令 $(F_j)_{j \geq 1}$ 为平面 Beltrami 方程 $\overline{\partial} F_j (z)=\mu_j(z,\omega) \partial F_j(z)$ 的一列归一化同胚解，其中随机伸缩满足 $|\mu_j|\leq k<1$ 且具有局部周期统计，例如形如 $$\mu_j (z,\omega)=\phi(z)\sum_{n\in \mathbf{Z}^2}g(2^j z-n,X_{n}(\omega)),$$ 其中 $g(z,\omega)$ 在 $z$ 中速降，随机变量 $X_{n}$ 独立同分布，且 $\phi\in C^\infty_0$。我们建立当 $j\to\infty$ 时映射 $F_j$ 几乎必然且局部一致收敛于确定性拟共形极限 $F_\infty$。该结果作为我们处理迭代随机奇异积分同质化的主定理之应用而获得。作为定理特例，令 $T_1,\ldots , T_{m}$ 为 ${\bf R}^d$ 上平移与伸缩不变的奇异积分，并考虑上述定义或更一般设定中的 $d$ 维版本 $\mu_j$。我们进而证明存在确定性函数 $f$ 使得当 $j\to\infty$ 时几乎必然地 $$\mu_j T_{m}\mu_j\ldots T_1\mu_j\to f \quad \textrm{weakly in } L^p,\quad 1 < p < \infty\ .$$