平凡Beltrami系数的构造

复平面单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上满足 $\|\mu\|_\infty<1$ 的可测函数 $\mu$ 有时称为 Beltrami 系数。若 $\mu$ 是满足平凡边界条件 $f(z)=z,~|z|=1$ 的 $\mathbb{D}$ 的拟共形自同构 $f$ 的复膨胀 $f_{\bar z}/f_z$，则称 $\mu$ 是平凡的。由于显式求解 Beltrami 方程并不容易，一般而言，检测给定 Beltrami 系数是否平凡是困难问题。在本文中，我们给出 Beltrami 系数为平凡的一个充分条件。我们的证明基于 Betker 关于 L"owner 链的定理。