Selberg 积分、超几何函数及其在随机矩阵$\beta$-系综中的应用

我们研究了一种具有$n+m$个不定元的新 Selberg 型积分，结果表明其与变形的 Calogero-Sutherland 系统相关。我们证明了该积分满足一个由$n+m$个非对称线性偏微分方程组成的完整系统。我们还证明了由超 Jack 多项式定义的特定超几何函数是该系统的唯一解。此外，还建立了对偶关系、积分公式、Pfaff-Euler 变换和 Kummer 变换等性质。作为直接应用，我们计算了随机矩阵理论中经典$\beta$-系综的特征多项式比值的期望值。