Selberg 积分的重要性

有人指出，衡量 Atle Selberg 工作影响力的一个公平标准是以其名字命名的数学项的数量。其中之一便是 Selberg 积分，它是 Euler beta 积分的 n 维推广。我们追溯了其突然崛起的历程，这一过程始于 Enrico Bombieri 在发表三十多年后向 Selberg 提出的一个问题。随后，Selberg 积分被迅速用于证明随机矩阵理论中的一个杰出猜想以及 Macdonald 猜想的部分情形。它进一步引发了对 q-模拟的研究，进而丰富了 Macdonald 猜想。我们回顾这些进展，并展示 Selberg 积分持续的重要性，这体现在其在随机矩阵理论、Calogero-Sutherland 量子多体系统、Knizhnik-Zamolodchikov 方程以及多变量正交多项式理论中的核心作用。