层状超材料的均匀化与内谱

我们研究具有快速变号系数的散度型方程的均匀化问题。聚焦于具有分段常数标量系数、呈（$d$ 维）十字路口型形状的问题，我们将给出一种极限过程，以理解潜在病态且非强制的设定。依据系数的积分均值及其逆的积分均值，极限可满足层状介质的通常均匀化公式、完全退化，或成为一个四阶非局部微分算子。为标志这种性质的剧烈变化，我们引入了电导率的“内谱”。我们证明，尽管对所有严格正周期 $0$ 均包含于内谱中，极限内谱却可能为空。此外，尽管对所有严格正周期谱一致地限制于有界集中且不含 $0$，极限内谱却可能以 $0$ 为本质谱点并在 $\infty$ 处聚积，甚至为整个 $\mathbb{C}$。这与经典情形形成鲜明对比，在经典情形中可由预渐近系数取值导出上下界。顺便，我们还发展了带不定权 Sturm--Liouville 型算子的理论，将相关 Sturm--Liouville 算子可解性问题归结为理解某显式多项式的零点，并证明了分段常数系数的generic 实扰动导致连续可逆的 Sturm--Liouville 表达式。