任意维数下的狄拉克-库仑哈密顿量的全纯族

我们研究无质量的 1 维狄拉克-库仑哈密顿量，即半直线上的形如 $D_{\omega,\lambda}:=\begin{bmatrix}-\frac{\lambda+\omega}{x}&-\partial_x \\ \partial_x & -\frac{\lambda-\omega}{x}\end{bmatrix}$ 的算子。我们在希尔伯特空间 $L^2(\mathbb R_+,\mathbb C^2)$ 的意义下描述其闭实现，允许参数 $\lambda,\omega$ 取复值。在物理情形中，$\lambda$ 正比于电荷，$\omega$ 与角动量相关。我们聚焦于 $D_{\omega,\lambda}$ 的 -1 次齐性闭实现。它们可组织为以某个 2 维复流形为参数的单一闭算子的全纯族。我们描述了这些实现的谱与数值域。我们给出了其预解式的积分核用 Whittaker 函数的显式公式。我们还描述了其定散射理论，提供了自然对角化算子对与散射算子的公式。众所周知，$D_{\omega,\lambda}$ 出现于 3 维狄拉克-库仑算子的变量分离之后。我们给出一个简单论证说明这在任意维数下依然成立。进而，我们解释了球对称狄拉克算子与球面上狄拉克算子及其本征问题之间的关系。我们的工作主要受大量关于狄拉克-库仑哈密顿量特殊自伴实现的文献所推动。我们表明，若以全纯性为指导原则，这些实现自然浮现。此外，它们是标度作用的红外吸引不动点。除在相对论量子力学中的应用外，我们认为狄拉克-库仑哈密顿量为研究 Whittaker 函数（或等价地，合流超几何函数）提供了自然框架。