周长至多为 1 的图上构型空间的 Hilbert 多项式

拓扑空间 $\Gamma$ 的 $k$-构型空间 $B_k\Gamma$ 是 $\Gamma$ 中 $k$ 个互异点构成之集合的空间。在本文中，我们考虑 $\Gamma$ 为周长至多为 $1$ 的图的情形。我们证明，对所有 $k\ge0$，$B_k\Gamma$ 的第 $i$ 个 Betti 数由一个关于 $k$ 的多项式 $P_\Gamma^i(k)$ 给出，称为 $\Gamma$ 的 Hilbert 多项式。我们利用由 $\Gamma$ 的典范 $1$-桥分解导出的多项式，给出了 Hilbert 多项式 $P_\Gamma^i(k)$ 的一个表达式。我们还给出了 $P_\Gamma^i(k)$ 系数的组合描述。