图、$\mathbb{F}_1$-概形与虚拟混合Tate动机

在最近的一些工作 [6, 7] 中，作者引入并研究了一个函子 $\mathcal{F}_k$，它将每个松散图 $\Gamma$（类似于图，但允许具有 $0$ 或 $1$ 个顶点的边）关联到一个 $k$-概形，使得 $\mathcal{F}_k(\Gamma)$ 在很大程度上由 $\Gamma$ 的组合学控制。这里，$k$ 是一个域，我们允许 $k$ 为 $\mathbb{F}_1$，即具有一个元素的域。对于每个有限素域 $\mathbb{F}_p$，[6] 中指出任何 $\mathcal{F}_k(\Gamma)$ 都是多项式计数的，且该多项式与域的选择无关。在本文中，我们证明对于每个 $k$，$\mathcal{F}_k(\Gamma)$ 在 Grothendieck 环 $K_0(\texttt{Sch}_k)$ 中的类包含在 $\mathbb{Z}[\mathbb{L}]$ 中，即由虚拟 Lefschetz 动机生成的整子环。