高阶Mandelbrot集及其形状变化
动力系统
2021-12-22 v1
摘要
Mandelbrot集源于20世纪初法国数学家Gaston Julia在复动力系统领域的开创性工作。法裔美国数学家Benoit Mandelbrot利用计算机计算二阶复多项式的迭代并展示了分形几何的复杂图像。在研究Mandelbrot集的基本性质时，鲜有注意力投向生成多项式的次数与Mandelbrot集主体形状之间关系的研究。本文利用复数与微积分的基本原理，将工作从二阶生成多项式扩展至更高次多项式，并表明对应于n次多项式的Mandelbrot集中主瓣数目为n-1，且当n趋于无穷时主瓣形状趋于单位半径的圆。文中还表明，副瓣附着于主瓣处的点之辐角由单位根给出。这些结果为预测Mandelbrot集主瓣形状及副瓣附着于主瓣的位置提供了简便途径，并可能有助于理解Mandelbrot集的特征。
引用
@article{arxiv.2112.10908,
title = {Higher Order Mandelbrot Sets and their Varying Shapes},
author = {Arshdeep Singh Pareek},
journal= {arXiv preprint arXiv:2112.10908},
year = {2021}
}