带非线性卷积项的高阶演化不等式

我们关注如下弱解存在与不存在性的研究：$$\begin{cases} &\displaystyle \frac{\partial^k u}{\partial t^k}+(-\Delta)^m u\geq (K\ast |u|^p)|u|^q \quad\mbox{ in } \mathbb R^N \times \mathbb R_+,\\[0.1in] &\displaystyle \frac{\partial^i u}{\partial t^i}(x,0) = u_i(x) \,\, \text{ in } \mathbb R^N,\, 0\leq i\leq k-1,\\ \end{cases}$$ 其中 $N,k,m\geq 1$ 为正整数，$p,q>0$，且对 $0\leq i\leq k-1$ 有 $u_i\in L^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$。我们假设 $K$ 是一个径向正连续函数，且在无穷远处邻域内递减。在上述问题中，$K\ast |u|^p$ 表示 $K(|x|)$ 与 $|u|^p$ 之间的标准卷积运算。我们得到了上述问题有解时关于 $N,m,k,p$ 和 $q$ 的必要条件。我们的分析强调了 $\displaystyle \frac{\partial^{k-1} u}{\partial t^{k-1}}$ 符号所起的作用。