二维薛定谔算子的高速估计：长程磁势与含时逆散射

我们引入了一类一般的长程磁势，并在二维情形下推导了量子力学中散射算子的高速极限。我们分析了存在障碍物时的高速极限，并由此唯一重构了障碍物外部的电势和磁场。我们还重构了由障碍物内部场产生的不可达磁通量（模 $2 \pi$）。对于我们类中的每个磁势 $A$，我们证明其在无穷远处的行为 ($A_\infty(\hat{\mathbf v}), \hat{\mathbf v} \in \mathbb{S}^1$) 可以以一种自然的方式被刻画。在非常一般的假设下，我们证明对于每个 $\hat{\mathbf v} \in \mathbb{S}^1$，$A_\infty(\hat{\mathbf v}) + A_\infty(- \hat{\mathbf v})$ 可以被唯一重构。我们刻画了障碍物外部磁场支集的性质，这些性质使我们能够唯一重构所有 $\hat{\mathbf v} \in \mathbb{S}^1$ 或 $\mathbb{S}^1$ 子集中的 $\hat{\mathbf v}$ 对应的 $A_\infty(\hat{\mathbf v})$。我们还给出了一大类障碍物外部的磁场，使我们能够唯一重构总磁通量（以及所有 $\hat{\mathbf v} \in \mathbb{S}^1$ 的 $A_\infty(\hat{\mathbf v})$）。这一点至关重要，因为众所周知，一般而言，散射算子（即使已知所有速度或能量）并不能唯一确定总磁通量（以及 $A_\infty(\hat{\mathbf v})$）。此外，我们分析了散射算子的高速极限关于 $A_\infty(\hat{\mathbf v})$ 的单射性（即唯一性，而不提供重构方法）。假设障碍物外部的磁场不恒为零，我们提供了一类磁势，使得单射性成立。