希格斯场、非阿贝尔柯西核与 Goldman 辛结构

我们考虑在固定亏格 $g\geq 2$ 黎曼曲面上秩为 $n$、度为 $ng$ 的向量丛的模空间。我们使用由 Tyurin 数据给出的显式参数化。在该模空间中存在一个“非阿贝尔”Theta 除子，由满足 $h^1\geq 1$ 的丛组成。在此除子的补集上，我们依据 Tyurin 数据显式构造了一个非阿贝尔柯西核。借助一个非特殊除子的额外数据，我们可以构造一个参考平坦全纯联络，它也全纯地依赖于丛的模。这使我们能够将希格斯场丛（即模空间的余切丛）与全纯联络的仿射丛等同，并给出到 ${\rm GL}_n$ 特征标簇的单值映射。我们证明特征标簇上的 Goldman 辛结构沿此映射拉回为余切丛上的复标准辛结构，从而也拉回到仿射联络空间上。进而证明联络仿射丛上 Liouville 一形式的拉回是一个对数形式，其极点位于非阿贝尔 theta 除子上，且留数为 $h^1$。