外区域上的 Hessian 商方程

众所周知，关于 Monge-Ampère 方程的著名 Jörgens-Calabi-Pogorelov 定理指出，在 $\mathbb{R}^n$ 中满足 $\det(D^2u)=1$ 的任意经典（粘性）凸解必为二次多项式。因此，研究此类完全非线性偏微分方程的 Dirichlet 问题在外区域上带有适当无穷远渐近条件的存在唯一性定理是一个有趣的话题。作为 Caffarelli-Li 关于 Monge-Ampère 方程以及 Bao-Li-Li 关于 $k$-Hessian 方程工作的延续，本文致力于在所有维数 $n\geq 2$ 下，对任意 $1\leq l<k\leq n$ 的 Hessian 商方程 $\sigma_k(\lambda(D^2u))/\sigma_l(\lambda(D^2u))=1$ 的外区域 Dirichlet 问题的可解性。通过引入广义对称子解的概念，并利用 Perron 方法，我们建立了在无穷远处接近某二次多项式的指定渐近行为的粘性解的存在性定理。